OBJECTIFOBJECTIF
Elaborer des stratégies de commande performantes pour des systèmes décrits par leur équation d’état :
Acquis en terme de performances : Dans les cours précédents les techniques de commande étudiées visaient à stabiliser, à rendre précis et à contrôler la dynamique des systèmes ( amortissement, rapidité etc. ) décrits par une fonction de transfert ou une représentation d’état.
Figure 1
P
Remarque importante : Les techniques de commande précitées ne modifient pas la nature du système, elles permettent d’élaborer un signal de commande u(t) qui appliqué au système lui confère de bonnes propriétés.
Figure 2
L’exemple de la figure précédente montre un système en boucle ouverte soumis à un échelon ; la réponse diverge. Le système est instable. On stabilise ce système par une matrice de contre-réaction. A partir du signal de commande élaboré, on pilote un système identique en boucle ouverte qui présente le même comportement que le système bouclé. On observe les réponses sur le chronogramme ci-dessous.
Figure 3
Les techniques de contrôle classiques garantissent la viabilité et le bon fonctionnement du système. Lorsque les exigences du cahier des charges sont sévères, elles se révèlent rapidement insuffisantes. Les exemples suivants illustrent ce propos :
Exemple 1 : Etablir une loi de commande pour un avion commercial qui minimise la consommation de kérosène.
Exemple 2 : Etablir une loi de commande pour un servomoteur qui minimise les échauffements dus aux pertes Joules dans l’induit ( permet par exemple en robotique d’augmenter la cadence des cycles d’utilisation du moteur ).
Dans un premier temps, on cherche à exprimer sous forme mathématique les performances exigées pour le système. Le critère ou fonction de coût rend compte de ces exigences ; on le note généralement J, c’est un scalaire.
Temps minimum
Il s’agit de déterminer une loi de commande qui permette passer de l’état x(t0) à l’état x(t1) en temps minimal. C’est par exemple le cas d’un intercepteur qui partant de l’altitude z0 doit atteindre un plafond z1 le plus rapidement possible.
Figure 4
Consommation minimum
Il s’agit de minimiser la consommation d’énergie pour amener un système partant de l’état x(t0) jusqu’à l’état x(t1). C’est par exemple le cas d’un avion de ligne qui consomme une quantité de kérosène proportionnelle à sa variation de masse. On a 
. On cherche la commande optimale u* qui pour un trajet donné minimise la consommation.
Figure 5
Minimisation portant sur un des états
C’est par exemple le cas d’un avion à l’atterrissage pour lequel on désire minimiser la distance de freinage en agissant de manière optimale sur les divers moyens de freinage ( freins roue, moteur, aérodynamique). Le critère s’écrit : 
avec x(t), vitesse de l’appareil au sol.
Une classe importante de critères, les critères quadratiques
Poursuite de trajectoire
Exemple : On désire que la vitesse et la position d’un moteur électrique [q, w ]T suive le plus fidèlement possible une trajectoire de consigne [qc, wc ]T. Minimiser la somme des erreurs de position et de vitesse le long de la trajectoire n’a aucun sens puisque ces signaux peuvent être de grande amplitude et à valeur moyenne nulle. Il est plus judicieux de minimiser le carré de ces erreurs.
Figure 6
Le critère qui minimise ces erreurs a pour expression :
On adopte avantageusement l’écriture matricielle :
Si on veut privilégier la minimisation d’une erreur par rapport à l’autre, on peut introduire des pondérations.
Ils permettent dans ce cas de favoriser la minimisation de l’erreur de position par rapport à la minimisation de l’erreur de vitesse. Sous forme matricielle :
Dans le cas général d’un problème de poursuite de trajectoire le critère s’écrit :
Minimisation de l’énergie de la commande
On considère à nouveau l’exemple du servomoteur lors d’une phase d’accélération et freinage.
Figure 7
Comme pour l’erreur dans le cas de la poursuite de trajectoire, la minimisation de la somme de la commande le long de la trajectoire ne rend pas compte de l’énergie mise en jeu, aussi on minimise le carré de u(t).
Dans le cas d’un système possédant m entrées : 
On peut désirer minimiser l’énergie de certaines commandes plus que d’autres, le critère s’écrit alors : 
soit sous forme matricielle :
où U = [ u1, u2, …um]T
Critère portant sur l’état final
Lorsqu’on n’est pas certain d’atteindre l’état final souhaité, on cherche à minimiser l’écart entre l’état réellement atteint et l’état à atteindre. Ce critère ( connu sous le nom de problème de Mayer ) porte sur l’instant final t1 et n’entre donc pas sous le signe
.
Exemple : On cherche à minimiser l’écart de distance par rapport au point d’impact souhaité pour un missile stratégique. Le critère a pour expression :
Figure 8
Où x et y désignent la position du missile. Dans le cas d’une cible telle que celle présentée figure 9 , on a tout intérêt à augmenter la précision sur l’état x(t1).
d’une manière plus générale, le coût terminal s’écrit :
Une classe importante de problèmes concerne les critères quadratiques. On peut simultanément chercher à minimiser, l’erreur de trajectoire, l’énergie mise en jeu et l’erreur terminale. Des matrices de pondération privilégient la minimisation de certains termes par rapport aux autres. On groupe le tout en un seul critère :
Qu’on met sous la forme :
L’évolution des n états du système est soumise à l’équation d’état :
qui dans le cas de systèmes linéaires s’écrit : 
. Le système est invariant lorsque A et B ne dépendent pas explicitement du temps.
L’équation d’état caractérise une contrainte appliquée à l’état x(t) puisque l’évolution des états est subordonnée aux caractéristiques du système.
Le problème de la commande optimale s’énonce de la façon suivante :
Déterminer la commande u*(t) qui rende le critère J minimal, compte tenu des conditions initiales et finales et de la contrainte définie par l’équation d’état.
On est amené à résoudre diverses catégories de problèmes dont les solutions sont liées à la connaissance que l’on a des conditions terminales. Les paragraphes suivants rendent compte des situations les plus fréquemment rencontrées.
Les chapitres suivants présentent les méthodes qui permettent de minimiser le critère, elle se fonde sur le calcul des variations de J.
Le chapitre V traite de l’élaboration d’une loi de commande optimale en boucle ouverte pour des critères et des systèmes quelconques.
Le chapitre VI met en œuvre des techniques de commande par retour d’état pour des systèmes linéaires et des critères quadratiques.
